/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 2391218

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 5 i 12 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Spróbujmy na początek ustalić na jakie odcinki dzieli przeciwprostokątną poprowadzona prosta. Jeżeli oznaczymy CD = x i DB = a , to z równości obwodów trójkątów ADC i DBC mamy

5+ 13− a+ x = 12 + a + x ⇒ 2a = 6 ⇒ a = 3 .

Jeżeli oznaczymy ten wspólny obwód trójkątów ADC i DBC przez 2p , to promienie okręgów wpisanych możemy wyliczyć ze wzoru na pole P = pr .

P rADC = --ADC- p PDBC-- rDBC = p .

Zatem szukany iloraz wynosi

PADC- rADC--= --p-- = PADC--. rDBC PDBC- PDBC p

Ponieważ trójkąty ADC i DBC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka C , stosunek ich pól, to dokładnie stosunek ich podstaw.

PADC AD 10 ------ = ---- = --. PDBC DB 3

 
Odpowiedź: 10 -3

Wersja PDF