/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 6815445

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przez środek D przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej AB . Prosta ta przecina proste AB i AC odpowiednio w punktach M i N . Wykaż, że |BC |2 = 4⋅ |DN |⋅ |DM | .

PIC

Rozwiązanie

Zauważmy, że trójkąty BMD i NCD są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku D .

PIC

Trójkąty te są więc podobne i mamy

DM---= DC-- ⇒ DN ⋅ DM = DC ⋅DB . DB DN

Teraz wystarczy wykorzystać informację o tym, że punkt D jest środkiem odcinka BC . Mamy więc

DN ⋅DM = DC ⋅DB = BC-⋅ BC-- ⇒ 4DN ⋅DM = BC 2. 2 2
Wersja PDF