/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 7509557

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 8 i 15 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Spróbujmy na początek ustalić na jakie odcinki dzieli przeciwprostokątną poprowadzona prosta. Jeżeli oznaczymy CD = x i DB = a , to z równości obwodów trójkątów ADC i DBC mamy

8 + 17 − a + x = 15+ a+ x ⇒ 2a = 10 ⇒ a = 5.

Jeżeli oznaczymy ten wspólny obwód trójkątów ADC i DBC przez 2p , to promienie okręgów wpisanych możemy obliczyć ze wzoru na pole P = pr .

P rADC = --ADC- p PDBC-- rDBC = p .

Zatem szukany iloraz wynosi

PADC- rADC--= --p-- = PADC--. rDBC PDBC- PDBC p

Ponieważ trójkąty ADC i DBC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka C , stosunek ich pól, to dokładnie stosunek ich podstaw.

PADC AD 17 − a 12 ------ = ---- = -------= --. PDBC DB a 5

 
Odpowiedź: 12 -5

Wersja PDF