Zadanie nr 1843143
Punkty i
są środkami odpowiednio krawędzi
i
prostopadłościanu
. Przez krawędź
poprowadzono płaszczyznę, która jest nachylona do płaszczyzny podstawy po kątem
i płaszczyzna ta przecięła odcinek
w punkcie
(zobacz rysunek).
Oblicz pole trójkąta jeżeli
,
i
.
Rozwiązanie
Niech będzie środkiem krawędzi
.
Popatrzmy najpierw na trójkąt prostokątny . Znamy długości jego dwóch boków, więc możemy w nim obliczyć co tylko chcemy. Na przykład
![P L 8 1 cos ∡P LK = ----= ---= -. KL 16 2](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR4x.png)
Zatem . Patrzymy teraz na trójkąt
. Mamy w nim
![∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡P SL = 180 − ∡SP L − ∡SLP = 180 − 7 5 − 60 = 45 .](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR7x.png)
Piszemy teraz twierdzenie sinusów w tym trójkącie.
![√ - √ -- P S PL -23 8 3 √ -- ------∘ = -----∘- ⇒ PS = √-2⋅ 8 = -√---= 4 6. sin 60 sin 45 -2- 2](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR8x.png)
Do szczęścia brakuje nam już tylko długości odcinka – przyjrzyjmy się dokładniej sytuacji w podstawie
prostopadłościanu. Jeżeli oznaczymy
to wiemy, że
![24 tg 2α = --. 7](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR12x.png)
Znamy też długość odcinka , więc przydałaby nam się wartość którejś funkcji trygonometrycznej kąta
– najlepiej
. Obliczymy go na dwa sposoby.
Sposób I
Skorzystamy ze wzoru
![tg 2α = -2-tgα--- 1− tg 2α](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR16x.png)
na . Jeżeli oznaczymy
, to liczba
spełnia równanie
![24 2t ---= -----2 7 1 − t 24− 24t2 = 14t / : 2 2 0 = 12t + 7t− 12.](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR20x.png)
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe
![2 Δ = 49 + 576 = 625 = 25 − 7 − 25 32 4 − 7 + 25 18 3 t = ---------= − ---= − -- lub t = ---------= ---= -. 24 24 3 24 24 4](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR21x.png)
Kąt jest ostry, więc
, czyli
. Stąd
![3-= tg α = PA-- ⇒ PA = 3-⋅8 = 6. 4 PL 4](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR25x.png)
Zatem i
![√ -- √ -- P = 1-⋅AD ⋅P S = 1-⋅12 ⋅4 6 = 24 6. ADS 2 2](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR27x.png)
Sposób II
Obliczmy najpierw .
![24-= tg2α = sin-2α- /()2 7 cos 2α 576 sin2 2α 1− cos22α ----= ---2--- = -----2----- 49 cos 2α cos 2α 576 cos22α = 49 − 49 cos22α ( ) 2 625 cos22α = 49 ⇒ cos22α = -49-= 7-- . 625 25](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR29x.png)
Kąt jest ostry (bo
), więc
. Korzystamy teraz ze wzoru
![2 cos2α = 2co s α − 1](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR33x.png)
na . Mamy zatem
![-7 32 cos2 α = 1-+-co-s2α = 1-+-25-= 25-= 16. 2 2 2 25](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR35x.png)
Kąt jest ostry, więc
. Patrzymy teraz na trójkąt
.
![4-= cosα = P-L- ⇒ AL = 8⋅ 5-= 1 0 5 ∘ ------AL--- ∘ --------- 4 --- AP = AL 2 − PL 2 = 10 2 − 82 = √ 36 = 6.](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR39x.png)
Zatem i
![1 1 √ -- √ -- PADS = --⋅AD ⋅P S = --⋅12 ⋅4 6 = 24 6. 2 2](https://img.zadania.info/zad/1843143/HzadR41x.png)
Odpowiedź: