/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 1843143

Punkty K i L są środkami odpowiednio krawędzi EH i BC prostopadłościanu ABCDEF GH . Przez krawędź AD poprowadzono płaszczyznę, która jest nachylona do płaszczyzny podstawy po kątem 75∘ i płaszczyzna ta przecięła odcinek KL w punkcie S (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Oblicz pole trójkąta ASD jeżeli |KL | = 16 , tg ∡ALD = 247 i |AB | = 8 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech P będzie środkiem krawędzi AD .


ZINFO-FIGURE


Popatrzmy najpierw na trójkąt prostokątny KP L . Znamy długości jego dwóch boków, więc możemy w nim obliczyć co tylko chcemy. Na przykład

 P L 8 1 cos ∡P LK = ----= ---= -. KL 16 2

Zatem ∡P LK = 60∘ . Patrzymy teraz na trójkąt PLS . Mamy w nim

 ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡P SL = 180 − ∡SP L − ∡SLP = 180 − 7 5 − 60 = 45 .

Piszemy teraz twierdzenie sinusów w tym trójkącie.

 √ - √ -- P S PL -23 8 3 √ -- ------∘ = -----∘- ⇒ PS = √-2⋅ 8 = -√---= 4 6. sin 60 sin 45 -2- 2

Do szczęścia brakuje nam już tylko długości odcinka AD – przyjrzyjmy się dokładniej sytuacji w podstawie ABCD prostopadłościanu. Jeżeli oznaczymy ∡ALD = 2α to wiemy, że

 24 tg 2α = --. 7

Znamy też długość odcinka AB = P L , więc przydałaby nam się wartość którejś funkcji trygonometrycznej kąta α – najlepiej tgα . Obliczymy go na dwa sposoby.

Sposób I

Skorzystamy ze wzoru

tg 2α = -2-tgα--- 1− tg 2α

na tg2 α . Jeżeli oznaczymy tg α = t , to liczba t spełnia równanie

 24 2t ---= -----2 7 1 − t 24− 24t2 = 14t / : 2 2 0 = 12t + 7t− 12.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

 2 Δ = 49 + 576 = 625 = 25 − 7 − 25 32 4 − 7 + 25 18 3 t = ---------= − ---= − -- lub t = ---------= ---= -. 24 24 3 24 24 4

Kąt α jest ostry, więc t > 0 , czyli  3 t = 4 . Stąd

3-= tg α = PA-- ⇒ PA = 3-⋅8 = 6. 4 PL 4

Zatem AD = 2PA = 12 i

 √ -- √ -- P = 1-⋅AD ⋅P S = 1-⋅12 ⋅4 6 = 24 6. ADS 2 2

Sposób II

Obliczmy najpierw cos 2α .

 24-= tg2α = sin-2α- /()2 7 cos 2α 576 sin2 2α 1− cos22α ----= ---2--- = -----2----- 49 cos 2α cos 2α 576 cos22α = 49 − 49 cos22α ( ) 2 625 cos22α = 49 ⇒ cos22α = -49-= 7-- . 625 25

Kąt 2α jest ostry (bo tg 2α > 0 ), więc co s2α = 725 . Korzystamy teraz ze wzoru

 2 cos2α = 2co s α − 1

na cos 2α . Mamy zatem

 -7 32 cos2 α = 1-+-co-s2α = 1-+-25-= 25-= 16. 2 2 2 25

Kąt α jest ostry, więc  4 co sα = 5 . Patrzymy teraz na trójkąt AP L .

 4-= cosα = P-L- ⇒ AL = 8⋅ 5-= 1 0 5 ∘ ------AL--- ∘ --------- 4 --- AP = AL 2 − PL 2 = 10 2 − 82 = √ 36 = 6.

Zatem AD = 2PA = 12 i

 1 1 √ -- √ -- PADS = --⋅AD ⋅P S = --⋅12 ⋅4 6 = 24 6. 2 2

 
Odpowiedź:  √ -- 24 6

Wersja PDF
spinner