/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 1898792

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są kolejnymi liczbami parzystymi. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 208. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy długości krawędzi prostopadłościanu przez x,x + 2,x + 4 .

PIC

Z podanej informacji o polu powierzchni całkowitej mamy równanie

2(x ⋅(x + 2) + x ⋅(x+ 4)+ (x+ 2)⋅(x + 4)) = 208 / : 2 2 2 2 x + 2x + x + 4x + x + 6x + 8 = 104 3x2 + 12x − 9 6 = 0 / : 3 2 x + 4x − 32 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

2 Δ = 16 + 12 8 = 144 = 12 −-4-−-12- −-4-+-12- x = 2 = − 8 lub x = 2 = 4.

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i krawędzie prostopadłościanu mają długości: 4, 6, 8. Obliczamy jego objętość.

V = 4⋅6 ⋅8 = 19 2.

Sposób II

Tym razem oznaczmy długości krawędzi prostopadłościanu przez x − 2,x,x + 2 . Z podanej informacji o polu powierzchni całkowitej mamy równanie

2((x − 2) ⋅x + (x − 2)⋅ (x+ 2)+ x⋅(x + 2)) = 208 / : 2 2 2 2 x − 2x + x − 4 + x + 2x = 104 3x2 = 1 08 / : 3 2 x = 36 ⇒ x = 6.

Objętość prostopadłościanu jest więc równa.

V = 4⋅6 ⋅8 = 19 2.

 
Odpowiedź: 192

Wersja PDF