/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 2751817

W prostopadłościanie ABCDEF GH przekątna ściany BCGF jest o 2 dłuższa od krawędzi CG i o 4 dłuższa od krawędzi BC . Przekątna ściany ABF E jest nachylona do płaszczyzny ABCD pod kątem 60∘ . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy BC = x , to BG = x + 4 i CG = BG − 2 = x+ 2 .

PIC

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BCG .

2 2 2 BG = BC + CG (x + 4)2 = x 2 + (x + 2)2 x2 + 8x + 16 = x 2 + x2 + 4x+ 4 2 0 = x − 4x− 12 Δ = 1 6+ 48 = 64 = 82 x = 4−--8-< 0 lub x = 4+--8-= 6 . 2 2

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy i mamy BC = x = 6 , BG = x+ 4 = 10 , CG = x + 2 = 8 . Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny ABE .

AE-- ∘ √ -- AB = tg60 = 3 √ -- AB = A√E--= √8--= 8--3. 3 3 3

Teraz bez trudu obliczamy objętość prostopadłościanu

√ -- 8--3- √ -- V = AB ⋅BF ⋅BC = 3 ⋅8 ⋅6 = 1 28 3.

 
Odpowiedź: √ -- V = 128 3

Wersja PDF