Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM
Zaloguj się

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3466953

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach π3- i α . Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy √- -6- 4 . Wyznacz miarę kąta α .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy naturalnie od rysunku.

PIC

Sposób I

Spróbujmy najpierw wykorzystać podaną informację o cosinusie kąta między przekątnymi prostopadłościanu. W tym celu piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie EBG

EG 2 = BE 2 + BG 2 − 2BE ⋅BG c osβ √ -- a2 + b2 = a2 + c2 + b2 + c2 − 2BE ⋅BG ⋅--6- 4 √ 6- BE ⋅BG ⋅ ----= c2 / : BE ⋅ BG √4-- 6 c c π -4--= BE-⋅ BG--= sin 3-⋅sin α.

Stad

√- -6- √ 2- sin α = √4-= ----, -32- 2

czyli α = π- 4 .

Sposób II

Przy oznaczeniach z rysunku mamy

c- π- √ -- √ -- a = tg 3 = 3 ⇒ c = 3a b √ -- --= ctg α ⇒ b = c ctg α = 3actg α. c

Ponadto

AB π 1 ----= co s-- = -- ⇒ BE = 2AB = 2a BE 3 2 √ -- GC-- GC--- --3a- BG = sin α ⇒ BG = sin α = sinα EG 2 = a2 + b2 = a2 + 3a2 ctg2α.

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie EBG .

2 2 2 EG = BE + BG − 2BE ⋅BG√ cosβ √ -- 2 2 2 2 3a2 3a 6 a + 3a ctg α = 4a + ---2--− 2 ⋅2a ⋅-----⋅ ---. sin α sinα 4

Dzielimy obie strony przez a2 i mamy

√ -- 3 ctg 2α = 3 + --3---− -3--2 /⋅ sin 2α sin 2α s√in-α co s2α = sin2 α+ 3− 3 2sin α / : 3 √ -- 1 − sin2α = sin 2α + 1 − 2 sin α ( √ -) 0 = 2 sin2α − √ 2-sin α = 2sinα sinα − --2- . 2

Ponieważ α jest kątem ostrym, mamy stąd - √2- sin α = 2 , czyli π- α = 4 (ponownie korzystamy z tego, że α jest ostry).  
Odpowiedź: α = π4-

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!