/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 4508937

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach π6- i α . Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy √- -2- 4 . Wyznacz miarę kąta α .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy naturalnie od rysunku.


ZINFO-FIGURE


Sposób I

Spróbujmy najpierw wykorzystać podaną informację o cosinusie kąta między przekątnymi prostopadłościanu. W tym celu piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie EBG

 EG 2 = BE 2 + BG 2 − 2BE ⋅BG c osβ √ -- 2 2 2 2 2 2 --2- a + b = a + c + b + c − 2BE ⋅BG ⋅ 4 √ -- BE ⋅BG ⋅ --2-= c2 / : BE ⋅ BG √4-- 2 c c π ----= ---⋅ ----= sin --⋅sin α. 4 BE BG 6

Stąd

 √- √ -- -24- 2 sin α = -1-= ----, 2 2

czyli  π α = 4- .

Sposób II

Przy oznaczeniach z rysunku mamy

 √ -- √ -- -c= tg π-= --3- ⇒ c = --3a a 6 3 3 √ -- b 3 --= ctgα ⇒ b = cctg α = ---actg α. c 3

Ponadto

 √ -- AB--= cos π-= --3- ⇒ BE = √2-AB = √2-a BE 6 2 3 3 GC c √ 3a ----= sin α ⇒ BG = ----- = ------- BG sin α 3 sinα 2 2 2 2 1-2 2 EG = a + b = a + 3a ctg α.

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie EBG .

 EG 2 = BE 2 + BG 2 − 2BE ⋅BG cosβ 2 √ -- √ -- a2 + 1a 2ctg2α = 4a2 + ---a----− 2 ⋅√2--a⋅ ---3a--⋅--2. 3 3 3 sin2α 3 3sin α 4

Dzielimy obie strony przez a2 i mamy

 √ -- 1-ctg2α = 1-+ ---1----− ---2--- / ⋅ 3sin2α 3 3 3 sin2α√ --3sin α co s2α = sin2 α+ 1− 2sin α √ -- 1 − sin2α = sin 2α + 1 − 2 sin α ( √ -) 0 = 2 sin2α − √ 2-sin α = 2sinα sinα − --2- . 2

Ponieważ α jest kątem ostrym, mamy stąd  - √-2 sin α = 2 , czyli  π- α = 4 (ponownie korzystamy z tego, że α jest ostry).  
Odpowiedź: α = π4-

Wersja PDF
spinner