/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 4745486

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą graniastosłupa ABCDEF GH o objętości 162 jest prostokąt ABCD (zobacz rysunek), którego przekątna tworzy z jego bokiem kąt 30∘ . Przekątna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60 ∘ stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

PIC

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a < b boki prostokąta w podstawie.

PIC

Z trójkąta prostokątnego ABD mamy

√ -- a-= tg30∘ = --3- ⇒ b = √a- = √3a- = a√ 3. b 3 --3 3 3

Obliczmy jeszcze długość przekątnej podstawy

∘ -------√----- √ ---- DB = a2 + (a 3)2 = 4a 2 = 2a.

Z trójkąta prostokątnego DBH obliczamy długość wysokości graniastosłupa.

-h-- ∘ √ -- √ -- DB = tg 60 = 3 ⇒ h = 2a 3.

Korzystamy teraz z podanej informacji o objętości graniastosłupa.

√ -- √ -- 1 62 = V = abh = a⋅a 3 ⋅2a 3 = 6a3. 3 2 7 = a ⇒ a = 3.

Zatem

√ -- √ -- b = a √3-= 3 √3-- h = 2a 3 = 6 3

i pole powierzchni całkowitej jest równe

2 (ab+ ah+ bh) = 2(9√ 3+ 1 8√ 3+ 54) = 54√ 3+ 1 08.

 
Odpowiedź: √ -- 54 3 + 1 08

Wersja PDF