Zadanie nr 4745486
Podstawą graniastosłupa o objętości 162 jest prostokąt
(zobacz rysunek), którego przekątna tworzy z jego bokiem kąt
. Przekątna
graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt
stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez boki prostokąta w podstawie.
Z trójkąta prostokątnego mamy
![√ -- a-= tg30∘ = --3- ⇒ b = √a- = √3a- = a√ 3. b 3 --3 3 3](https://img.zadania.info/zad/4745486/HzadR3x.gif)
Obliczmy jeszcze długość przekątnej podstawy
![∘ -------√----- √ ---- DB = a2 + (a 3)2 = 4a 2 = 2a.](https://img.zadania.info/zad/4745486/HzadR4x.gif)
Z trójkąta prostokątnego obliczamy długość wysokości graniastosłupa.
![-h-- ∘ √ -- √ -- DB = tg 60 = 3 ⇒ h = 2a 3.](https://img.zadania.info/zad/4745486/HzadR6x.gif)
Korzystamy teraz z podanej informacji o objętości graniastosłupa.
![√ -- √ -- 1 62 = V = abh = a⋅a 3 ⋅2a 3 = 6a3. 3 2 7 = a ⇒ a = 3.](https://img.zadania.info/zad/4745486/HzadR7x.gif)
Zatem
![√ -- √ -- b = a √3-= 3 √3-- h = 2a 3 = 6 3](https://img.zadania.info/zad/4745486/HzadR8x.gif)
i pole powierzchni całkowitej jest równe
![2 (ab+ ah+ bh) = 2(9√ 3+ 1 8√ 3+ 54) = 54√ 3+ 1 08.](https://img.zadania.info/zad/4745486/HzadR9x.gif)
Odpowiedź: