Zadanie nr 5355228
Podstawą prostopadłościanu o wysokości 4 jest kwadrat
o boku 3. Oblicz sinus kąta, pod którym przecinają się przekątne
i
tego prostopadłościanu.
Rozwiązanie
Szkicujemy prostopadłościan.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość przekątnej ściany i długość przekątnej prostopadłościanu.
![∘ ------------ ∘ ------- √ --- BE = AB 2 + AE 2 = 32 + 42 = 25 = 5 ∘ ------------ √ ------- √ --- EC = BH = BE 2 + EH 2 = 25 + 9 = 34.](https://img.zadania.info/zad/5355228/HzadR1x.gif)
Sposób I
Skorzystamy z twierdzenia sinusów w trójkącie . Zanim jednak to zrobimy obliczamy
.
![BE 5 sinβ = ----= √---. EC 34](https://img.zadania.info/zad/5355228/HzadR4x.gif)
Zapisujemy teraz twierdzenie sinusów.
![BC---= -BS-- sin α sin β √-34- -3---= -2-- sin α √5-- 34 -3---= 34-= 17- ⇒ sin α = 3⋅ 5--= 1-5. sin α 10 5 17 1 7](https://img.zadania.info/zad/5355228/HzadR5x.gif)
Sposób II
Interesujący nas sinus kąta między przekątnymi możemy obliczyć korzystając ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.
![1 1 2 15 = PBCHE = 4PBCS = 4 ⋅--BS ⋅CS sin α = -BH sin α 2 2 sinα = -30--= 30-= 15. BH 2 34 17](https://img.zadania.info/zad/5355228/HzadR6x.gif)
Sposób III
Tym razem skorzystamy z tego, że
![α = 180∘ − 2β .](https://img.zadania.info/zad/5355228/HzadR7x.gif)
Mamy zatem
![BE BC 15 15 sinα = sin 2β = 2sin βco sβ = 2 ⋅----⋅ ----= 2 ⋅---= --. EC EC 34 17](https://img.zadania.info/zad/5355228/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: