Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6031616

Długości krawędzi podstawy prostopadłościanu są równe 5√2- 2 cm , a krawędź boczna ma długość 2 cm. Oblicz pole przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 ∘ . Sporządź rysunek i zaznacz na nim przekrój oraz kąt jego nachylenia do płaszczyzny podstawy.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


W przekroju otrzymujemy trapez równoramienny, którego dłuższa podstawa ma długość

 √ --√ -- AC = 5- 2⋅ 2 = 5. 2

Łatwo też obliczyć wysokość tego trapezu – patrzymy na trójkąt prostokątny KLM (punkt L jest rzutem środka podstawy PQ trapezu).

 √ -- √ -- LM-- ∘ --3- -2- -4-- 4---3 KM = sin6 0 = 2 ⇒ KM = √-3 = √ 3-= 3 . 2

Ponadto

 √ -- √ -- LK-- = cos 60∘ = 1- ⇒ LK = 1-KM = 1-⋅ 4--3 = 2--3-. KM 2 2 2 3 3

Patrzymy teraz na równoramienny trójkąt prostokątny PQH – jest to połówka kwadratu, więc

 ( √ -) √ -- PQ = 2DL = 2(DK − LK ) = 2 5-− 2---3 = 5 − 4--3-. 2 3 3

Pole przekroju jest więc równe

 √ - 4--3 √ -- ( √ -) √ -- AC--+--PQ- ⋅KM = 5-+-5-−--3--⋅ 4--3-= 5 − 2---3 ⋅ 4--3-= 2 2 3 3 3 √ -- = 20--3-− 8. 3 3

 
Odpowiedź: 20√-3−-8 2 3 cm

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!