/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 6109712

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEF GH o podstawie prostokątnej ABCD . Przekątne AH , AF i HF ścian bocznych tworzą trójkąt ostrokątny o polu 11,25 (zobacz rysunek). Stosunek długości odcinka HF do promienia okręgu opisanego na trójkącie AF H jest równy 30 : 17. Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.


ZINFO-FIGURE


Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy HF = a , AF = b , AH = c i ∡FAH = α .


ZINFO-FIGURE


Jeżeli R jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie AF H , to na mocy twierdzenia sinusów mamy

 --a-- -a- 1- 30- 15- 2R = sinα ⇒ sin α = 2R = 2 ⋅17 = 17.

Znamy też pole tego trójkąta, więc

 1- 22,5- 22-,5- 11,25 = 2bc sin α ⇒ bc = sinα = 15- = 25,5. 17

Jeżeli oznaczymy x = AB i y = BC , to

 c2 = y2 + h2 2 2 2 b = x + h a 2 = x2 + y2.

Długości boków trójkąta AF H są związane twierdzeniem cosinusów, ale zanim je napiszemy, obliczmy co sα . Korzystamy przy tym z tego, że α jest kątem ostrym.

 ---------- ∘ -------- ∘ ---- ∘ 2 225- -64- -8- co sα = 1− sin α = 1− 289 = 2 89 = 1 7.

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie AF H .

 a2 = b 2 + c2 − 2bc cosα x2 + y2 = x 2 + h 2 + y 2 + h 2 − 2 ⋅25,5 ⋅-8 √ --- √ --17 24 = 2h 2 ⇒ h = 12 = 2 3.

 
Odpowiedź:  √ -- h = 2 3

Wersja PDF
spinner