Zadanie nr 6109712
Dany jest graniastosłup prosty o podstawie prostokątnej
. Przekątne
,
i
ścian bocznych tworzą trójkąt ostrokątny o polu 11,25 (zobacz rysunek). Stosunek długości odcinka
do promienia okręgu opisanego na trójkącie
jest równy 30 : 17. Oblicz wysokość
tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Oznaczmy ,
,
i
.
Jeżeli jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie
, to na mocy twierdzenia sinusów mamy
![--a-- -a- 1- 30- 15- 2R = sinα ⇒ sin α = 2R = 2 ⋅17 = 17.](https://img.zadania.info/zad/6109712/HzadR7x.png)
Znamy też pole tego trójkąta, więc
![1- 22,5- 22-,5- 11,25 = 2bc sin α ⇒ bc = sinα = 15- = 25,5. 17](https://img.zadania.info/zad/6109712/HzadR8x.png)
Jeżeli oznaczymy i
, to
![c2 = y2 + h2 2 2 2 b = x + h a 2 = x2 + y2.](https://img.zadania.info/zad/6109712/HzadR11x.png)
Długości boków trójkąta są związane twierdzeniem cosinusów, ale zanim je napiszemy, obliczmy
. Korzystamy przy tym z tego, że
jest kątem ostrym.
![---------- ∘ -------- ∘ ---- ∘ 2 225- -64- -8- co sα = 1− sin α = 1− 289 = 2 89 = 1 7.](https://img.zadania.info/zad/6109712/HzadR15x.png)
Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .
![a2 = b 2 + c2 − 2bc cosα x2 + y2 = x 2 + h 2 + y 2 + h 2 − 2 ⋅25,5 ⋅-8 √ --- √ --17 24 = 2h 2 ⇒ h = 12 = 2 3.](https://img.zadania.info/zad/6109712/HzadR17x.png)
Odpowiedź: