/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 6684839

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEF GH o podstawie prostokątnej ABCD . Przekątne AH i AF ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze α takiej, że sinα = 1123 (zobacz rysunek). Pole trójkąta AF H jest równe 26,4. Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.


ZINFO-FIGURE


Wersja PDF

Rozwiązanie

Ze wzoru na pole trójkąta z sinusem mamy

26,4 = PAFH = 1-AH ⋅AF ⋅sin α ⇒ AH ⋅AF = 26,4--= 57,2. 2 12 ⋅ 1123

Jeżeli oznaczymy a = AD i b = AB , to

 2 2 2 AH = a + h AF 2 = b2 + h2 HF 2 = a2 + b2.

Długości boków trójkąta AF H są związane twierdzeniem cosinusów, ale zanim je napiszemy, obliczmy co sα . Korzystamy przy tym z tego, że α jest kątem ostrym.

 ---------- ∘ -------- ∘ ---- ∘ 2 144- -25- -5- co sα = 1− sin α = 1− 169 = 1 69 = 1 3.

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie AF H .

 HF 2 = AH 2 + AF 2 − 2AH ⋅ AF cos α a2 + b2 = a 2 + h 2 + b2 + h2 − 2 ⋅57,2 ⋅-5 √ --- 13 44 = 2h 2 ⇒ h = 22 .

 
Odpowiedź:  √ --- h = 22

Wersja PDF
spinner