/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 7951755

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przekątna prostopadłościanu ma długość 5 i tworzy z dwoma ścianami prostopadłościanu kąty α i β takie, że √- co sα = 3-2- 5 i co sβ = 4 5 . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Zauważmy, że przy oznaczeniach z rysunku, z trójkątów prostokątnych BEH i BDH łatwo można wyliczyć długości krawędzi b i c . Potrzebujemy do tego jednak wartości sin α i sin β . Zacznijmy od ich wyliczenia

∘ ------- √ -- ∘ ---------- 18 7 sin α = 1− cos2α = 1 − ---= ---- ∘ ---------- ∘ ----25- 5 2 1-6 3- sin β = 1 − cos β = 1 − 2 5 = 5 .

Mamy zatem

√ -- √ -- EH 7 7 √ -- ---- = sin α = ---- ⇒ b = ----⋅5 = 7 BH 5 5 DH-- = sin β = 3- ⇒ c = 3⋅ 5 = 3. BH 5 5

Pozostało wyliczyć długość trzeciej krawędzi prostopadłościanu, zrobimy to korzystając z podanej długości jego przekątnej.

2 2 2 2 2 2 BH = BD + DH = AB + AD + DH 25 = a2 + b2 + c2 a2 = 25 − 7 − 9 = 9 ⇒ a = 3.

Zatem objętość jest równa

√ -- √ -- V = abc = 3⋅ 7 ⋅3 = 9 7

 
Odpowiedź: √ -- 9 7

Wersja PDF