Zadanie nr 8628592
W prostopadłościanie poprowadzono z jednego wierzchołka przekątne ścian bocznych, obie o długości 4. Wiedząc, że kąt między tymi przekątnymi ma miarę , oblicz pole powierzchni tego prostopadłościanu.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Powiedzmy, że przekątne, o których mowa to i
. W takim razie trójkąt
jest równoramienny i kąt między ramionami wynosi
. Musi to więc być trójkąt równoboczny (bo pozostałe kąty też muszą mieć po
), czyli
. To oznacza, że trójkąty
są przystające (bo są prostokątne i każde dwa mają dwa równe boki). Zatem dany prostopadłościan to sześcian. Jeżeli oznaczymy długość jego krawędzi przez
to ze wzoru na przekątną kwadratu mamy
![4 = a√ 2- ⇒ a = √4--= 2 √ 2. 2](https://img.zadania.info/zad/8628592/HzadR9x.gif)
Jego pole powierzchni jest równe
![6a2 = 6 ⋅8 = 48 .](https://img.zadania.info/zad/8628592/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: 48