Zadanie nr 9148330
Dany jest prostopadłościan o polu powierzchni równym 162, w którym przekątna jest liczbą z przedziału . Wykaż, że suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu jest liczbą z przedziału
.
Rozwiązanie
Szkicujemy prostopadłościan.
Z podanego pola powierzchni mamy
![2ab+ 2bc + 2ca = 16 2,](https://img.zadania.info/zad/9148330/HzadR1x.gif)
a z podanej długości przekątnej
![∘ ------------ 9 ≤ a 2 + b2 + c2 ≤ 15 /()2 2 2 2 81 ≤ a + b + c ≤ 225.](https://img.zadania.info/zad/9148330/HzadR2x.gif)
Przekształcamy teraz tezę, którą mamy udowodnić, w sposób równoważny.
![√ -- √ --- 3 6√ -3 ≤ 4(a + b + c)√≤-12 4 3 / : 4 9 3 ≤ a+ b+ c ≤ 3 43 /()2 2 43 ≤ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc+ 2ca ≤ 387 2 2 2 2 43 ≤ a + b + c + 1 62 ≤ 387 / − 162 8 1 ≤ a2 + b2 + c2 ≤ 225.](https://img.zadania.info/zad/9148330/HzadR3x.gif)
Otrzymana nierówność z założenia jest prawdziwa, więc nierówność od której zaczęliśmy przekształcenia też musiała być prawdziwa (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).