Zadanie nr 3277987

W pewnym trapezie kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary oraz 90∘ + α . Jedno z ramion tego trapezu ma długość . Wyznacz różnicę długości podstaw tego trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

Z treści zadania nie wynika jednoznacznie, które ramię ma długość , ani który kąt ma miarę , ale na razie się tym nie przejmujmy – zajmiemy się tym na samym końcu.

Ponieważ ∘ ∡B + ∡C = 180 , warunek ∘ ∡C = 90 + α oznacza, że ∘ ∡B = 90 − α .

Sposób I

Jeżeli przedłużymy ramiona trapezu tak, aby się przecięły w punkcie , to otrzymamy trójkąt prostokątny ABS (bo ∡A + ∡B = 90 ∘ ). Prostokątny jest też trójkąt DCS , więc przy oznaczeniach z rysunku mamy

x-= cosα ⇒ x = b cosα b t+--x a = cos α ⇒ t + x = a cosα .

Podstawiając x = b cosα z pierwszej równości do drugiej, mamy

t+ b cosα = aco sα t = (a− b )cos α / : co sα a− b = --t--. cos α

Sposób II

Tym razem dorysujmy odcinek równoległy do ramienia . Otrzymany trójkąt AED jest prostokątny (bo ∘ ∡A + ∡AED = 90 ) oraz AE = AB − DC = a − b . Mamy więc

t t ------= cosα ⇒ a− b = -----. a − b cos α

Na zakończenie zastanówmy się co się dzieje, gdy ramię długości nie jest przyległe do , ale do 90∘ − α . W takiej sytuacji wszystkie nasze rachunki pozostają bez zmian, o ile tylko zmienimy wszędzie na ∘ 90 − α . W szczególności szukana różnica podstaw będzie wtedy równa