/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trapez/Długości odcinków

Zadanie nr 7837003

Podstawy trapezu ABCD mają długości |AB | = a i |CD | = b , przy czym a > b . Udowodnij, że odcinek łączący środki przekątnych tego trapezu ma długość a−b- 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech S będzie punktem przecięcia przekątnych trapezu.

PIC

Sposób I

W każdym trapezie mamy parę trójkątów podobnych – trójkąty ABS i CDS mają równe kąty, więc są podobne. Znamy ponadto ich skalę podobieństwa

AB a k = ----= -. CD b

Żeby nie pogubić się w ułamkach, oznaczmy SC = x i SD = y . Wtedy AS = kx , BS = ky oraz

SL AS − AL AL 1AC 1 kx + x ----= ----------= 1− ----= 1− 2----= 1 − --⋅------- = SA AS AS AS 2 kx 1- k-+-1- 1- -1- 1- 1-- 1- -b- a−--b- = 1 − 2 ⋅ k = 1− 2 − 2k = 2 − 2k = 2 − 2a = 2a .

Analogicznie

1BD SK- = BS-−--BK- = 1 − BK--= 1− 2---- = SB SB BS BS 1- ky-+-y- 1- k-+-1- a−--b- = 1− 2 ⋅ ky = 1− 2 ⋅ k = 2a .

To oznacza, że trójkąty SLK i SAB są podobne w skali

SL a− b ----= -----. SA 2a

Stąd

LK-- a-−-b- a−--b- a-−-b- AB = 2a ⇒ LK = 2a ⋅a = 2 .

Sposób II

Niech E będzie środkiem ramienia BC trapezu. Odcinek EL jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie ABC , więc jest równoległy do prostej AB oraz

AB-- a- EL = 2 = 2.

Patrzymy teraz na trójkąt BCD – odcinek EL jest równoległy do jego podstawy CD i przechodzi przez środek boku E , więc przecina bok BD w jego środku K . Ponadto

CD b EK = ----= -. 2 2

Stąd

a b a− b KL = EL − EK = -− --= -----. 2 2 2
Wersja PDF