/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trapez/Długości odcinków

Zadanie nr 9405866

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawy trapezu ABCD mają długości AB = a i CD = b . Na ramionach trapezu wybrano punkty K i L w ten sposób, że odcinek KL jest równoległy do podstaw i przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych. Oblicz długość odcinka KL .

Rozwiązanie

Zauważmy, że trójkąty ABS i CDS są podobne (bo mają równe kąty).

PIC

Znamy ponadto skalę ich podobieństwa:

AS--= BS--= AB-- = a. SC SD CD b

Zauważmy teraz, że trójkąty AKS i ADC są podobne i możemy wyliczyć ich skalę podobieństwa:

AS--= ---AS---- = ---1--- = --1---= --a--. AC AS + SC 1 + ASSC 1+ ba a+ b

Zatem

KS-- --a--- --a--- --ab-- DC = a + b ⇒ KS = a+ b ⋅b = a + b .

Dokładnie w ten sam sposób obliczamy długość odcinka SL (patrzymy na trójkąty podobne BSL i BDC ). Stąd

-ab--- -ab--- 2ab--- KL = KS + SL = a+ b + a+ b = a+ b .

 
Odpowiedź: -2ab- a+b

Wersja PDF