/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trapez/Długości odcinków

Zadanie nr 9585685

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r . Wykaż, że 4r2 = |AB |⋅|CD | .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Jeżeli a i b są długościami podstaw trapezu, to ponieważ w trapez można wpisać okrąg, to

AD + BC = AB + CD ⇒ AD = a+--b. 2

Ponadto

AE = b-−-a-. 2

Napiszmy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AED .

2 2 2 AE + ED = AD (b − a)2 2 (a+ b)2 -------- + 4r = -------- 4 2 2 4 2 2 4r2 = a-+-b--+-2ab-−-(a--+-b--−-2ab-) 4 4ab 4r2 = ----= ab . 4
Wersja PDF