Zadanie nr 1380957
Wierzchołkami kwadratu są punkty o współrzędnych
,
,
i
. Dla każdej liczby rzczywistej
rozważamy trójkąt o wierzchołkach
,
i
. Wyznacz wszystkie wartości prametru
, dla których pole figury, która jest częścią wspólną kwadratu
i trójkąta
wynosi 2.
Rozwiązanie
Gdy zaczniemy sobie rysować opisaną sytuację staje się jasne, że w zależności od wartości parametru mamy trzy możliwości.
Jeżeli to część wspólna trójkąta
i kwadratu jest trójkątem prostokątnym
. Jest jasne, że
a długość drugiej przyprostokątnej
możemy wyliczyć z podobieństwa trójkątów
i
![ATm--= PmRm-- ASm PmSm ATm 4 ------= -- m + 2 2 ATm = 2(m + 2).](https://img.zadania.info/zad/1380957/HzadR9x.gif)
Pole tego trójkąta będzie równe 2 jeżeli
![1-⋅(m + 2)⋅ 2(m + 2) = 2 2 (m + 2)2 = 2 √ -- √ -- m + 2 = 2 ∨ m + 2 = − 2 √ -- √ -- m = 2 − 2 ∨ m = − 2 − 2.](https://img.zadania.info/zad/1380957/HzadR10x.gif)
Drugi z tych pierwiastków odrzucamy, gdyż ma być .
Wartość mogliśmy wyznaczyć znacznie prościej, zauważając, że z podobieństwa trójkątów
i
wynika, że ten pierwszy będzie miał pole równe połowie pola drugiego tylko wtedy gdy skala podobieństwa jest
. Wtedy
![1 2 √ -- √ -- ASm = m + 2 = √--PmSm = √---= 2 ⇒ m = 2 − 2. 2 2](https://img.zadania.info/zad/1380957/HzadR16x.gif)
Jeżeli to trójkąt
jest całkowicie zawarty w kwadracie
i pole stale jest równe 4.
Jeżeli , to część wspólna podanych figur to trapez
. Możemy, jak w pierwszym przypadku, policzyć pole tego trapezu, ewentualnie możemy też policzyć pole trójkąta
. Najprościej jest jednak, tak jak w pierwszym przypadku, skorzystać z podobieństwa trójkątów
i
. Aby pole tego drugiego było równe 2, musi być
![√ -- BSm = √1-PmSm = 2. 2](https://img.zadania.info/zad/1380957/HzadR25x.gif)
Z drugiej strony . Stąd
![√ -- √ -- m − 2 = 2 ⇒ m = 2+ 2.](https://img.zadania.info/zad/1380957/HzadR27x.gif)
Odpowiedź: lub