/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Dane są trzy wierzchołki

Zadanie nr 4885660

Punkty A = (2,− 4) , B = (2,4) i C = (− 5,− 4) są wierzchołkami trójkąta ABC . Napisz równanie prostej zawierającej tą średnicę okręgu opisanego na trójkącie ABC , której końcem jest punkt A .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Ponieważ bok AB trójkąta leży na pionowej prostej x = 2 , a bok AC na poziomej prostej y = − 4 , to trójkąt ABC jest prostokątny. Środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek jego przeciwprostokątnej

( ) ( ) B-+--C 2−--5-4-−-4- 3- S = 2 = 2 , 2 = − 2 ,0 .

W takim razie prosta, o której mowa w treści zadania to prosta AS . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i S .

{ − 4 = 2a+ b 0 = − 3a+ b 2

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

3 7 8 − 4 = 2a + --a = --a ⇒ a = − --. 2 2 7

Stąd

( ) 3 3 8 12 b = --a = --⋅ − -- = − --- 2 2 7 7

i interesująca nas prosta ma równanie

8- 12- y = − 7x − 7 .

 
Odpowiedź: y = − 8x− 12 7 7

Wersja PDF