/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Dane są trzy wierzchołki

Zadanie nr 6262932

Punkty A = (2,11 ),B = (8,23 ),C = (6,14 ) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D . Oblicz współrzędne punktu D .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Aby wyznaczyć współrzędne punktu D potrzebujemy znać równania prostych AB i CD . Zacznijmy od AB . Szukamy prostej postaci y = ax + b . Podstawiając współrzędne punktów A i B mamy układ równań

{ 11 = 2a + b 23 = 8a + b

Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy

12 = 6a ⇒ a = 2.

Zatem b = 11 − 2a = 7 i prosta AB ma równanie y = 2x + 7 .

Prosta CD jest prostopadła do AB , czyli ma postać y = − 1x + b 2 i przechodzi przez punkt C = (6,14) skąd

1- 14 = − 2 ⋅6 + b ⇒ b = 14 + 3 = 17 .

Zatem prosta CD ma równanie y = − 1 x+ 17 2 .

Szukamy teraz punktu wspólnego D prostych AB i CD .

{ y = 2x + 7 1 y = − 2x + 17 .

Odejmując od pierwszego równania drugie mamy

5- 0 = 2 x− 10 5 10 = -x 2 x = 4.

Stąd y = 2x + 7 = 15 i D = (4,15) .  
Odpowiedź: D = (4,15 )

Wersja PDF