Zadanie nr 6413632
Uzasadnij, że koło o środku i promieniu
jest w całości zawarte w trójkącie o wierzchołkach
.
Rozwiązanie
Wprawdzie podane liczby są dość duże, ale możemy sobie naszkicować opisaną sytuację.
Z obrazka widać, że łatwo napisać równania dwóch boków trójkąta:

Zauważmy jeszcze, że punkt leży na prawo od prostej
i powyżej prostej
.
Napiszmy teraz równanie boku . Skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
i
:

Stosujemy ten wzór dla i
:

Zauważmy teraz (wstawiając współrzędne punktu do równania prostej
), że punkt
leży poniżej prostej
. To oznacza, że punkt
leży wewnątrz trójkąta
.
Powinno być jasne, że wystarczy pokazać, iż podane koło nie przecina prostych zawierających boki trójkąta . Aby to wykazać, wystarczy sprawdzić, że środek tego koła jest odległy od boków trójkąta o więcej niż promień
.
Odległość punktu od prostych
i
to odpowiednio

oraz

Obie te liczby są większe od 8, więc podany okrąg nie przecina tych prostych. Pozostało sprawdzić bok . Liczymy odległość punktu
od tej prostej.

Zatem okrąg nie przecina też boku .