Zadanie nr 6665938

Punkty 22 21 A = ( 5 ,− 5 ), B = (6,7) oraz C = (− 9,2) są wierzchołkami trójkąta ABC . Symetralna boku tego trójkąta przecina bok w punkcie . Oblicz współrzędne punktu .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

ZINFO-FIGURE

Punkt jest punktem wspólnym prostych: oraz symetralnej boku . Zacznijmy od napisania równania prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 7 = 6a+ b 2 = − 9a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ) i mamy

1 5 = 1 5a ⇒ a = -- 3

Stąd

b = 7− 6a = 7 − 2 = 5

i prosta ma równanie y = 13x + 5 . Równanie symetralnej odcinka możemy napisać na wiele różnych sposobów.

Sposób I

Symetralna odcinka to zbiór punktów P = (x,y ) równoodległych od jego końców. W naszej sytuacji mamy więc

AP 2 = BP 2 ( )2 ( )2 22- 21- 2 2 x− 5 + y+ 5 = (x − 6 ) + (y − 7) x2 − 4-4x + 484-+ y2 + 42y + 441-= x 2 − 1 2x+ 36+ y2 − 14y + 49 / ⋅5 5 25 5 25 112y = − 16x + 240 / : 112 y = − 1x + 15-. 7 7

Szukamy teraz punktu wspólnego prostej i symetralnej odcinka .

{ y = 13x + 5 y = − 1x + 15. 7 7

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

0 = 1x + 1-x+ 5− 15- 3 7 7 10- 2-0 20- 2-1 0 = 21x + 7 ⇐ ⇒ x = − 7 ⋅1 0 = − 6.

Stąd

1- y = 3x + 5 = − 2 + 5 = 3

i D = (− 6,3)

Sposób II

Symetralna odcinka to prosta przechodząca przez jego środek

( ) A + B 22+ 6 − 21 + 7 ( 52 14 ) ( 26 7 ) S = -------= 5-----,---5----- = --,--- = --,-- 2 2 2 10 10 5 5

i do niego prostopadła. Aby napisać jej równanie skorzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt S = (x 0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

−→ [ ] [ ] →v = AB = B − A = 6− 22,7 + 21- = 8, 56- 5 5 5 5

i równanie symetralnej odcinka ma postać

( ) ( ) 8- 26- 56- 7- 5- 5 x − 5 + 5 y− 5 = 0 /⋅ 8 x− 26-+ 7y − 49-= 0 5 5 x+ 7y − 15 = 0 .

Szukamy teraz punktu wspólnego tej symetralnej z prostą CD : 3y − x − 1 5 = 0 .

{ x+ 7y − 15 = 0 3y − x − 15 = 0

Dodajemy równania układu stronami i mamy

10y − 30 = 0 ⇐ ⇒ y = 3.

Stąd x = 3y − 15 = − 6 i D = (− 6,3) .

Sposób III

Tak jak w sposobie II napiszemy równanie symetralnej odcinka jako równanie prostej przechodzącej przez środek

( ) S = 26, 7 5 5

tego odcinka i prostopadłej do niego. Wyznaczmy najpierw równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ − 215-= 252a+ b 7 = 6a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

7+ 21-= 6a− 22a / ⋅5 5 5 56 = 8a ⇒ a = 7 .

Współczynnika możemy nie wyznaczać, bo nie będzie nam potrzebny. Symetralna odcinka jest prostopadła do prostej , więc ma równanie postaci 1 y = − 7x+ b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .