Zadanie nr 6965749
Dany jest trójkąt o wierzchołkach:
,
,
. Oblicz długość odcinka
dwusiecznej kąta przy wierzchołku
.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Jeżeli wykonamy dość dokładny rysunek, to możemy zauważyć, że trójkąt wydaje się być prostokątny. Aby sprawdzić, czy tak jest rzeczywiście, liczymy długości jego boków.
![AB 2 = (− 7 + 4)2 + (− 5+ 1)2 = 9 + 16 = 2 5 2 2 2 AC = (4 + 4) + (− 7+ 1) = 64 + 36 = 100 BC 2 = (4 + 7)2 + (− 7+ 5)2 = 121 + 4 = 125 = AB 2 + AC 2.](https://img.zadania.info/zad/6965749/HzadR2x.gif)
Zatem rzeczywiście, trójkąt jest trójkątem prostokątnym z kątem prostym przy wierzchołku
. W szczególności,
![∡BAD = ∡CAD = 45∘ .](https://img.zadania.info/zad/6965749/HzadR5x.gif)
Długość dwusiecznej obliczymy z twierdzenia sinusów, ale zanim to zrobimy, zauważmy, że
![∘ ---- ∘ -- AC 100 4 2 sin β = ---- = ----= --= √--- BC ∘ -125 ∘ 5- 5 AB 25 1 1 sinγ = ---- = ----= --= √--. BC 125 5 5](https://img.zadania.info/zad/6965749/HzadR7x.gif)
Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie .
![∘ √-2 √ --- AD--- = --BD--- ⇒ BD = sin-45- ⋅AD = -2- = --10-⋅AD sinβ sin 45∘ sin β √2- 4 5](https://img.zadania.info/zad/6965749/HzadR9x.gif)
Teraz stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie .
![AD---= --DC--- sin γ sin 45∘ AD BC − BD -1--= ----√----- √-5 22- √ --- √ --- --10-⋅AD = 5√ 5-− --10-⋅AD / : √ 5- 2 4 3√ 2- 20 10√ 2- -----⋅AD = 5 ⇒ AD = √---= ------. 4 2 3](https://img.zadania.info/zad/6965749/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: