/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Dane są trzy wierzchołki

Zadanie nr 7112795

Wyznacz kąty trójkąta ABC o wierzchołkach A = (3;2) , B = (2 ;3 ) , C = (− 1;0) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na początek możemy sobie naszkicować podany trójkąt.

PIC

Kąty trójkąta wyliczymy posługując się iloczynem skalarnym wektorów, tzn. skorzystamy ze wzoru

→ → → → v ∘w cos∡ (v ,w ) = -→--→--. |v ||w |

Jeżeli ktoś nie lubi wektorów, to równoważnie może użyć twierdzenia cosinusów. Aby policzyć cosinus kata ∡A , wyznaczamy →AB = [− 1,1] i → AC = [−4 ,−2 ] . Mamy zatem

√ --- [−-1,1]∘-[−-4,−-2]- --4−--2--- ---10 co s∡A = √ 1-+-1-⋅√ 16+--4-= √ -- √ --= 10 . 2⋅ 2 5

Podobnie, ponieważ → BA = [1,− 1] i → BC = [− 3,− 3] , mamy

− 3 + 3 cos∡B = √----√----= 0 . 2 ⋅ 18

Czyli ∡B = 90∘ . W końcu, → CA = [4,2] , → CB = [3 ,3 ] , skąd

√ --- cos∡C = √-12-+√6---= √-3--= 3--10-. 20 ⋅ 18 10 10

 
Odpowiedź: √-10- cos∡A = 10 , ∘ ∡B = 90 , √-- cos∡C = 3-10- 10

Wersja PDF