/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Dane są trzy wierzchołki

Zadanie nr 9604019

Punkty A = (− 5,9),B = (21,− 4),C = (21,6) są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D . Oblicz długość odcinka BD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Aby wyznaczyć współrzędne punktu D potrzebujemy znać równania prostych AB i CD . Zacznijmy od AB . Szukamy prostej postaci y = ax + b . Podstawiając współrzędne punktów A i B mamy układ równań

{ 9 = − 5a + b − 4 = 21a + b

Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy

− 13 = 26a ⇒ a = − 1. 2

Zatem

b = 9 + 5a = 9− 5-= 13. 2 2

i prosta AB ma równanie 1 13 y = − 2x + 2 .

Prosta CD jest prostopadła do AB , czyli ma postać y = 2x + b i przechodzi przez punkt C = (21,6) skąd

6 = 2 ⋅21 + b ⇒ b = 6− 42 = − 36.

Zatem prosta CD ma równanie y = 2x − 3 6 .

Szukamy teraz punktu wspólnego D prostych AB i CD .

{ y = − 1 x+ 13 2 2 y = 2x − 36.

Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy

0 = 5x − 36 − 13-= 5-x − 85- 2 2 2 2 8-5 5- 2- 2 = 2 x / ⋅ 5 x = 17.

Stad y = 2x − 3 6 = − 2 i D = (17,− 2) . Zatem

∘ ----------------------- √ ------- √ --- √ -- BD = (1 7− 2 1)2 + (− 2 + 4)2 = 16+ 4 = 20 = 2 5.

 
Odpowiedź: √ -- 2 5

Wersja PDF