Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9642655

Dane są wierzchołki trójkąta ABC : A(2 ,2) , B(9 ,5) i C(3,9) . Z wierzchołka C poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok AB w punkcie D . Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt D i równoległej do boku BC .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Aby wyznaczyć współrzędne punktu D wyznaczamy najpierw równania prostych AB i CD . Szukamy prostej AB w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ 2 = 2a+ b 5 = 9a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić b ) i mamy 7a = 3 , czyli a = 3 7 . Z pierwszego równania mamy więc

 6- 8- b = 2 − 2a = 2− 7 = 7

i prosta AB ma równanie y = 37 x+ 87 .

Prosta CD jest prostopadła do AB , więc ma równanie postaci y = − 7x + b 3 . Aby obliczyć b podstawiamy w tym równaniu współrzędne punktu C .

 7 9 = − --⋅3 + b = − 7+ b ⇒ b = 16. 3

Szukamy teraz punktu wspólnego D prostych AB i CD .

{ 3 8 y = 7x + 7 y = − 73x + 16 .

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić y ) i mamy

 3- 7- 8- 0 = 7x + 3x + 7 − 1 6 8 9 + 4 9 1 6− --= -------x 7 2 1 112−--8- 58- 21- 7 = 21x / ⋅ 2 15 6 1 56 = 29x ⇒ x = ----. 29

Z drugiego równania układu mamy

 7- 156- −-364- 100- y = − 3 ⋅ 29 + 16 = 29 + 16 = 2 9 .

Zatem  ( ) D = 156, 100- 29 29 .

Szukamy teraz równania prostej BC w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów B i C .

{ 5 = 9a+ b 9 = 3a+ b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy − 4 = 6a . Stąd  2 a = − 3 . Współczynnika b nie obliczamy, bo nie jest nam potrzebny.

Szukana prosta równoległa do BC i przechodząca przez D ma taki sam współczynnik kierunkowy jak prosta BC , więc jest postaci  2 y = − 3x + b . Współczynnik b obliczamy podstawiając współrzędne punktu D .

100-= − 2-⋅ 156-+ b 29 3 29 10-0 104- 204- b = 29 + 2 9 = 29 .

Szukana prosta ma więc równanie y = − 23x+ 22094 .  
Odpowiedź:  2 204 y = − 3x+ 29

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!