Dane są wierzchołki trójkąta ABC: A(2, 2), B(9, 5) i C(3, 9).... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Dane są trzy wierzchołki, 9642655

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Dowolny

Dane są trzy wierzchołki (28)
Pole (16)
Różne (13)
Wyliczanie wierzchołków (11)

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Dane są trzy wierzchołki

Zadanie nr 9642655

Dane są wierzchołki trójkąta $ABC$ : $A(2 ,2)$ , $B(9 ,5)$ i $C(3,9)$ . Z wierzchołka $C$ poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok $AB$ w punkcie $D$ . Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $D$ i równoległej do boku $BC$ .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Aby wyznaczyć współrzędne punktu $D$ wyznaczamy najpierw równania prostych $AB$ i $CD$ . Szukamy prostej $AB$ w postaci $y = ax + b$ . Podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$ .

{ 2 = 2a+ b 5 = 9a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić $b$ ) i mamy $7a = 3$ , czyli $a = 3 7$ . Z pierwszego równania mamy więc

6- 8- b = 2 − 2a = 2− 7 = 7

i prosta $AB$ ma równanie $y = 37 x+ 87$ .

Prosta $CD$ jest prostopadła do $AB$ , więc ma równanie postaci $y = − 7x + b 3$ . Aby obliczyć $b$ podstawiamy w tym równaniu współrzędne punktu $C$ .

7 9 = − --⋅3 + b = − 7+ b ⇒ b = 16. 3

Szukamy teraz punktu wspólnego $D$ prostych $AB$ i $CD$ .

{ 3 8 y = 7x + 7 y = − 73x + 16 .

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić $y$ ) i mamy

3- 7- 8- 0 = 7x + 3x + 7 − 1 6 8 9 + 4 9 1 6− --= -------x 7 2 1 112−--8- 58- 21- 7 = 21x / ⋅ 2 15 6 1 56 = 29x ⇒ x = ----. 29

Z drugiego równania układu mamy

7- 156- −-364- 100- y = − 3 ⋅ 29 + 16 = 29 + 16 = 2 9 .

Zatem $( ) D = 156, 100- 29 29$ .

Szukamy teraz równania prostej $BC$ w postaci $y = ax + b$ . Podstawiamy współrzędne punktów $B$ i $C$ .

{ 5 = 9a+ b 9 = 3a+ b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy $− 4 = 6a$ . Stąd $2 a = − 3$ . Współczynnika $b$ nie obliczamy, bo nie jest nam potrzebny.

Szukana prosta równoległa do $BC$ i przechodząca przez $D$ ma taki sam współczynnik kierunkowy jak prosta $BC$ , więc jest postaci $2 y = − 3x + b$ . Współczynnik $b$ obliczamy podstawiając współrzędne punktu $D$ .