/Konkursy/Zadania/Funkcje/Równania funkcyjne

Zadanie nr 3148696

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Znajdź wszystkie funkcje f : R → R , dla których zachodzi równość xf (x)− f(1 − x) = 2 .

Rozwiązanie

Jeżeli podstawimy w danym równaniu 1 − x zamiast x , to otrzymamy równość

(1 − x)f (1 − x )− f (x) = 2.

Wystarczy teraz potraktować f(x ) jako niewiadomą i rozwiązać układ równań

{ xf(x )− f(1− x) = 2 (1− x)f(1 − x )− f (x) = 2.

Jeżeli dodamy do drugiego równania pierwsze pomnożone przez (1− x) (żeby skrócić f(1 − x ) ), to otrzymamy

2 -2x-−--4--- f (x)(−x + x− 1) = 4 − 2x ⇒ f(x) = x2 − x+ 1.

Zapisane wyrażenie ma zawsze sens, bo wyróżnik trójmianu w mianowniku jest ujemny.  
Odpowiedź: -2x−4-- f(x ) = x2−x+ 1

Wersja PDF