/Konkursy/Zadania/Funkcje/Równania funkcyjne

Zadanie nr 7729460

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Znajdź wszystkie funkcje f : R → R , dla których zachodzi równość 2f (x)+ f(1 − x) = x .

Rozwiązanie

Jeżeli podstawimy w danym równaniu 1 − x zamiast x , to otrzymamy równość

2f(1 − x )+ f (x) = 1 − x.

Wystarczy teraz potraktować f(x ) jako niewiadomą i rozwiązać układ równań

{ 2f(x )+ f (1− x) = x 2f(1 − x )+ f (x) = 1 − x.

Jeżeli odejmiemy od drugiego równania podwojone pierwsze (żeby skrócić f (1− x ) ), to otrzymamy

1- − 3f (x) = 1 − 3x ⇒ f(x) = x − 3.

 
Odpowiedź: f(x ) = x − 1 3

Wersja PDF