/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Geometryczne

Zadanie nr 6908755

Na osi liczbowej każde dwie spośród 1000 kolejnych liczb naturalnych {1 ,2,3,...,999,100 0} połączono odcinkiem. Następnie wybrano losowo jeden z tych odcinków. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że do wylosowanego odcinka należy liczba 307 (może też być jednym z jego końców). Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wszystkich odcinków o końcach w danych punktach jest

( 1000 ) 1000 ⋅999 = ----------= 500 ⋅999. 2 2

Sposób I

Jeżeli ⟨a,b⟩ jest takim odcinkiem, że 307 ∈ ⟨a,b⟩ , to a ≤ 30 7 , 307 ≤ b oraz a ⁄= b . Jest więc

30 7⋅(10 00− 306) − 1 = 307 ⋅69 4− 1 = 213057

takich odcinków (lewy koniec wybieramy na 307 sposobów, prawy na 694 sposoby i odejmujemy zdegenerowany odcinek ⟨307,307 ⟩ ). Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

2130 57 23673 7891 7891 --------- = --------- = -------- = ------. 50 0⋅99 9 50 0⋅1 11 5 00⋅3 7 1 8500

Otrzymany ułamek jest nieskracalny, bo łatwo sprawdzić, że liczba 7891 nie dzieli się przez żaden dzielnik mianownika, czyli przez żadną z liczb: 2, 5, 3, 37.

Sposób II

Zamiast obliczać liczbę odcinków, które zawierają 307, obliczmy ile jest odcinków, do których ta liczba nie należy. Końce takiego odcinka musimy wybrać z przedziału ⟨1,306⟩ lub ⟨308,100 0⟩ . Jest więc

( ) ( ) 306 + 1000 − 3 07 = 306-⋅305-+ 6-93⋅6-92 = 15 3⋅305 + 693 ⋅346 = 2 86443 2 2 2 2

takich przedziałów i interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe

286 443 106 09 7891 1 − --------- = 1 − -------- = ------. 50 0⋅99 9 50 0⋅3 7 18 500

Otrzymany ułamek jest nieskracalny, bo łatwo sprawdzić, że liczba 7891 nie dzieli się przez żaden dzielnik mianownika, czyli przez żadną z liczb: 2, 5, 3, 37.  
Odpowiedź: 178859100

Wersja PDF