Obliczmy najpierw ile wierzchołków ma dwudziestościan foremny. Wiemy, że bryła ta ma 20 ścian i na każdej ścianie mamy 3 wierzchołki. Daje to nam wierzchołków, jednak każdy wierzchołek policzyliśmy w ten sposób 5 razy (bo jest na 5 ścianach). Zatem wierzchołków jest
Podobnie możemy obliczyć liczbę krawędzi: 20 ścian trójkątnych daje krawędzi, ale każdą krawędź policzyliśmy 2 razy (bo każda krawędź jest na dwóch ścianach). Zatem wszystkich krawędzi jest
Sposób I
Za zdarzenia elementarne przyjmijmy dwuelementowe zbiory wylosowanych wierzchołków, czyli
Zamiast liczyć żądane prawdopodobieństwo, obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. W takim zdarzeniu odcinek łączący wylosowane wierzchołki jest krawędzią wielościanu, a tych jak wiemy jest 30. Zatem
Sposób II
Tym razem za zdarzenia elementarne przyjmijmy uporządkowane pary wylosowanych wierzchołków, czyli
Liczymy zdarzenia sprzyjające. Pierwszy wierzchołek możemy wybrać dowolnie, ale wybierając drugi mamy już mniejszy wybór: nie może to być ani
, ani żaden z 5 sąsiadujących z nim wierzchołków. Wierzchołek
możemy więc dobrać do
na 6 sposobów. Zatem prawdopodobieństwo wynosi
Odpowiedź: