Każda ściana dwudziestościanu foremnego W jest trójkątem równobocznym,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Geometryczne, 7749960

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Geometryczne

Zadanie nr 7749960

Każda ściana dwudziestościanu foremnego $W$ jest trójkątem równobocznym, a z każdego wierzchołka tej bryły wychodzi 5 krawędzi. Wybieramy losowo dwa różne wierzchołki wielościanu $W$ . Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że odcinek łączący te dwa wierzchołki nie jest krawędzią wielościanu $W$ ?

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw ile wierzchołków ma dwudziestościan foremny. Wiemy, że bryła ta ma 20 ścian i na każdej ścianie mamy 3 wierzchołki. Daje to nam $20 ⋅3 = 6 0$ wierzchołków, jednak każdy wierzchołek policzyliśmy w ten sposób 5 razy (bo jest na 5 ścianach). Zatem wierzchołków jest

60- 5 = 1 2.

Podobnie możemy obliczyć liczbę krawędzi: 20 ścian trójkątnych daje $20 ⋅3 = 6 0$ krawędzi, ale każdą krawędź policzyliśmy 2 razy (bo każda krawędź jest na dwóch ścianach). Zatem wszystkich krawędzi jest

60 ---= 3 0. 2

Sposób I

Za zdarzenia elementarne przyjmijmy dwuelementowe zbiory wylosowanych wierzchołków, czyli

( 12) 12⋅ 11 |Ω | = = -------= 66. 2 2

Zamiast liczyć żądane prawdopodobieństwo, obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. W takim zdarzeniu odcinek łączący wylosowane wierzchołki jest krawędzią wielościanu, a tych jak wiemy jest 30. Zatem

′ 30- 5-- ′ -5- -6- p = 66 = 11 ⇒ p = 1 − p = 1 − 11 = 11 .

Sposób II

Tym razem za zdarzenia elementarne przyjmijmy uporządkowane pary $(w 1,w 2)$ wylosowanych wierzchołków, czyli

|Ω | = 12 ⋅11.

Liczymy zdarzenia sprzyjające. Pierwszy wierzchołek $w1$ możemy wybrać dowolnie, ale wybierając drugi mamy już mniejszy wybór: nie może to być ani $w 1$ , ani żaden z 5 sąsiadujących z nim wierzchołków. Wierzchołek $w2$ możemy więc dobrać do $w 1$ na 6 sposobów. Zatem prawdopodobieństwo wynosi