Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9424020

Sześcian, którego ściany zostały pomalowane czerwoną farbą, dzielimy 6 płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 identycznych sześcianików. Losujemy 2 spośród nich.

  • Oblicz prawdopodobieństwo, że łączna liczba czerwonych ścian wylosowanych sześcianików wynosi 3.
  • Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowane sześcianiki mają wspólną ścianę.
Wersja PDF
Rozwiązanie

PIC


Za przestrzeń zdarzeń elementarnych przyjmijmy nieuporządkowane pary wylosowanych sześcianów. Mamy zatem

 ( ) |Ω | = 27 = 2-7⋅26-= 27 ⋅13 = 35 1. 2 2
  • Po opisanym podziale, mamy
    8 sześcianów z 3 czerwonymi ścianami (naroża),
    12 sześcianów z 2 czerwonymi ścianami (przy środkach krawędzi),
    6 sześcianów z 1 czerwoną ścianą (środki ścian),
    1 sześciań bez czerwonej ściany (środek sześcianu).
    Mamy zatem
    8⋅1 + 1 2⋅6 = 80.

    par sześcianów w których suma czerwonych ścian wynosi 3. Szukane prawdopodobieństwo wynosi zatem

    80 ---. 351

     
    Odpowiedź: 83051

  • Musimy starannie policzyć ilość par, które mają sąsiednią ścianę.
    • Jeżeli jeden z sześcianów jest narożnikiem, to drugi można dobrać na 3 sposoby. Razem mamy 8 ⋅3 = 24 takie konfiguracje.
    • Jeżeli jeden z sześcianików jest w środku sześcianu, to drugi można dobrać na 6 sposobów. Mamy więc 6 takich konfiguracji.
    • Pozostały jeszcze konfiguracje, w których jeden z sześcianów jest środkiem ściany, a drugi jest przy środku krawędzi. Jest 6⋅ 4 = 24 takich par.

    Razem mamy więc 24+ 6+ 24 = 54 zdarzenia sprzyjające. Stąd

     54 2 P = -------= ---. 27⋅1 3 1 3

     
    Odpowiedź: 2- 13

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!