Zadanie nr 1522186

W wazonie stoi 12 czerwonych i 8 żółtych róż. Pani Krystyna wyjęła losowo dwie róże z wazonu. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wybranych kwiatów jest przynajmniej jedna róża żółta.

Rozwiązanie

Sposób I

Dwie róże z wazonu możemy wyjąć na

( 20) 20 ⋅19 |Ω | = = -------= 190 2 2

sposobów. Dwie róże żółte możemy wybrać na

( ) 8 = 8-⋅7 = 2 8 2 2

sposobów, a jedną żółtą i jedną czerwoną na

12⋅ 8 = 96

sposobów. Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

28+--96-= 14+--48-= 62. 190 95 95

Sposób II

Jak poprzednio za zdarzenia elementarne przyjmujemy nieuporządkowane pary wybranych kwiatów, czyli

( ) 20 20-⋅19- |Ω | = 2 = 2 = 190.

Zamiast liczyć prawdopodobieństwo szukanego zdarzenia policzymy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, czyli że Pani Krystyna wyciągnęła dwie róże czerwone. Może zrobić to na

( 12) 12⋅ 11 = -------= 66 2 2

sposobów. Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

66 33 62 1− ----= 1− ---= --. 190 95 95

Sposób III

W wazonie znajduje się łącznie 20 kwiatów, a Pani Krystyna wyciąga dwa z nich (bez zwracania) zatem może to zrobić na

20 ⋅19 = 380 sposob ów

(tym razem uwzględniamy kolejność wybieranych kwiatów). Zdarzenia sprzyjające możemy podzielić na dwa: takie, w których Pani Krystyna wyciągnęła dokładnie jedną żółtą różę i takie, że że wyciągnęła dwie żółte róże. Najpierw policzmy na ile sposobów może wyciągnąć dokładnie jedną żółtą różę

2⋅ 8⋅12 = 192

(żółtą różę możemy wybrać na 8 sposobów, a drugiego kwiatka na 12 sposobów, potem musimy ustalić czy żółta róża ma być pierwsza, czy druga).
Teraz policzmy na ile sposobów może wybrać dwie żółte róże

8 ⋅7 = 56

(Pierwszą żółtą różę możemy wybrać na 8 sposobów, a druga na 7). Zatem szukane prawdopodobieństwo jest równe

P = 56-+-19-2 = 2-48 = 6-2. 380 3 80 9 5

Sposób IV

Zamiast liczyć prawdopodobieństwo szukanego zdarzenia policzymy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, czyli że Pani Krystyna wyciągnęła dwie róże czerwone (tak jak w poprzednim sposobie uwzględniamy kolejność wyciągniętych kwiatów). Może zrobić to na