/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Różne

Zadanie nr 1905539

Łukasz w sposób losowy ustawia na jednej półce regału pewną liczbę książek. Wśród tych książek są trzy książki w języku angielskim, a wszystkie pozostałe są w języku polskim. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że trzy książki w języku angielskim znajdą się obok siebie jest równe 1- 22 . Oblicz, ile książek w języku polskim zostało ustawionych na tej półce.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli jest n książek w języku polskim to wszystkich książek jest n + 3 i książki w języku angielskim możemy umieścić (tak aby stały obok siebie) na

(n+ 1)⋅ 3!⋅n! = 6(n + 1 )!

sposobów (najpierw wybieramy trzy sąsiednie miejsca dla tych książek, potem ustalamy ich kolejność, a na koniec ustalamy kolejność pozostałych książek). Otrzymujemy więc równanie

1 6 (n+ 1)! 6(n + 1)! --- = ----------= ----------------------- 2 2 (n + 3)! (n + 3)(n + 2 )(n+ 1)! (n + 2)(n + 3) = 6⋅ 22 2 n + 5n − 12 6 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2 Δ = 2 5+ 504 = 529 = 23 − 5− 23 − 5 + 23 n = ---------= − 14 lub n = ---------= 9. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy n = 9 .  
Odpowiedź: 9

Wersja PDF