/Szkoła średnia/Liczby/Logarytmy/Tożsamości

Zadanie nr 2422617

Niech log2 18 = c . Wykaż, że  -4-- log34 = c−1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu, oraz jego szczególnego przypadku

log y = logy-y-= --1---. x logy x logy x

Sposób I

Zauważmy, że dany warunek możemy zapisać w postaci

c = log 18 = log (2⋅3 2) = lo g 2 + 2 lo g 3 = 1 + --2--- 2 2 2 2 lo g32 2 2 ------ = c− 1 ⇒ log3 2 = -----. log 32 c− 1

Stąd

lo g 4 = lo g 22 = 2 log 2 = 2⋅ --2-- = --4-- . 3 3 3 c− 1 c − 1

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

 4 4 4 ----- = ----------- = ---------2---------- = c − 1 log21 8− 1 log2(2 ⋅3 ) − log2 2 ---4---- --2--- --2-- = 2log 3 = lo g 3 = --1-- = 2 lo g32 = log 34. 2 2 log32

Sposób III

Przekształcamy lewą stronę wzoru, który mamy udowodnić – zmieniamy podstawę na 2.

 log 4 2 4 log3 4 = ----2- = ------= --------= log 23 lo g23 2log 23 4 4 4 = log--9+--lo-g-2-−-log--2 = log--18-−-1-= c−--1. 2 2 2 2
Wersja PDF
spinner