Zadanie nr 2606378

Niech 3√ -- log18 6 = c . Wykaż, że √- 6c−4 lo g 3 54 = 3c−1 .

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu

log b loga b = ---c--. logc a

Sposób I

Zauważmy, że dany warunek możemy zapisać w postaci (zmieniamy podstawę na 3)

-- 3√ -- 1 c = log 3√ 6 = log3---6 = 3 log-3(2-⋅3)-= 18 lo g318 log3(2 ⋅32) log 2+ lo g 3 lo g 2 + 1 c = 1⋅ ---3--------3---= 1-⋅ ---3------ 3 lo g32 + log3 32 3 lo g32 + 2 3c(log 2+ 2) = log 2 + 1 3 3 log 2(3c − 1) = 1 − 6c ⇒ log 2 = 1-−-6c. 3 3 3c − 1

Stąd

lo g 54 lo g (2⋅ 33) log 2+ lo g 33 lo g√- 54 = ----3√---= ---3----1--= ---3--------3---= 3 log 3 3 lo g33 2 12 ( ) = 2(log 2+ 3) = 2 1-−-6c-+ 3 = 2⋅ 1−--6c+-9c-−-3-= 3 3c − 1 3c − 1 3c − 2 6c− 4 = 2 ⋅-------= ------. 3c − 1 3c− 1

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

3√ -- 2 4 36- 6c-−-4-= 6log-18-√-6−--4-= log-186-−--lo-g1818--= log18-184-= 3c − 1 3log 18 3 6− 1 log 186− lo g1818 log 18 618 ( ) 2 − 1log -62 182 = --2----18--18----= log18--6-= -lo-g185√4--= log√ -54. − 12 log183 −1 log 312 log18 3 3 18