/Szkoła średnia/Liczby/Logarytmy/Tożsamości

Zadanie nr 4016719

Niech m = log23 . Wykaż, że 2(1+m-) log3 36 = m .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu, oraz jego szczególnego przypadku

log y = logy-y-= --1---. x logy x logy x

Sposób I

Zauważmy, że dany warunek możemy zapisać w postaci

--1--- −1 m = log23 = log 2 / () 3 -1 = log 2. m 3

Przekształcamy teraz lewą stronę równości, którą mamy udowodnić

2 2m + 2 log3 36 = log3(9 ⋅4) = log3 32 + lo g322 = 2 + --= -------. m m

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

2-(1+-m-) = 2(log2-2+--log-23)-= 2log2-6-= m lo g23 log 23 2 = log26--= log2-36 = log 36. log 23 lo g23 3

Sposób III

Przekształcamy lewą stronę wzoru, który mamy udowodnić – zmieniamy podstawę na 2.

2 2 2 2 log-236 log2(2-⋅-3-) log-22-+--lo-g23-- 2-+-2m- log3 36 = log 3 = log 3 = log 3 = m . 2 2 2
Wersja PDF