/Szkoła średnia/Liczby/Logarytmy/Tożsamości

Zadanie nr 4296797

Niech log3 12 = c . Wykaż, że  -4-- log29 = c−1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu, oraz jego szczególnego przypadku

log y = logy-y-= --1---. x logy x logy x

Sposób I

Zauważmy, że dany warunek możemy zapisać w postaci

c = log 12 = log (3⋅2 2) = lo g 3 + 2 lo g 2 = 1 + --2--- 3 3 3 3 lo g23 2 2 ------ = c− 1 ⇒ log2 3 = -----. log 23 c− 1

Stąd

lo g 9 = lo g 32 = 2 log 3 = 2⋅ --2-- = --4-- . 2 2 2 c− 1 c − 1

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

 4 4 4 ----- = ----------- = ---------2---------- = c − 1 log31 2− 1 log3(3 ⋅2 ) − log3 3 ---4---- --2--- --2-- = 2log 2 = lo g 2 = --1-- = 2 lo g23 = log 29. 3 3 log23

Sposób III

Przekształcamy lewą stronę wzoru, który mamy udowodnić – zmieniamy podstawę na 2.

 log 9 2 4 log2 9 = ----3- = ------= --------= log 32 lo g32 2log 32 4 4 4 = ----------------------- = -----------= -----. log 34+ lo g33 − log3 3 log 312 − 1 c− 1
Wersja PDF
spinner