Zadanie nr 5274090

Wykaż, że jeżeli log 54 = a oraz log 43 = b , to -2a+-1- lo g1280 = a⋅(1+b) .

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu

log b = logc-b, a logc a

oraz jego szczególnego przypadku

lo-gb b --1--- lo gab = lo g a = log a . b b

Sposób I

Wiemy, że b = log 3 4 i

a = log 4 = --1--- ⇒ log 5 = 1-. 5 log45 4 a

Przekształcamy teraz lewą stronę równości, którą mamy udowodnić – zmieniamy podstawę logarytmu na 4.

log 8 0 log 5+ lo g 16 1 + 2 1 + 2a log1280 = ---4--- = ----4-------4---= -a----= ---------. log41 2 log43 + log 44 b + 1 a(b + 1)

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

( ) ( ) -2a+--1--= 2a-+-1- ⋅--1---= 2 + 1- ⋅--1---= a(1+ b) a 1 + b a 1 + b 1 = (2 + log4 5)⋅ ----------= 1+ log 43 1 log4 80 = (log4 16+ lo g45) ⋅---------------= ------- = log12 80. log4 4+ lo g43 log4 12

Sposób III

Tym razem zmienimy podstawy wszystkich logarytmów na 2.

log24- ---2-- 2- a = log54 = log 5 = log 5 ⇒ lo g25 = a 2 2 log23- log2-3 b = log43 = log 4 = 2 ⇒ lo g23 = 2b. 2

Mamy zatem

lo g 80 = lo-g280-= log2-16+--lo-g25-= 12 lo g212 lo g24 + log2 3 2 = 4-+-a--= -4a-+-2---= -2a-+-1--. 2+ 2b a(2+ 2b) a (1 + b )