Zadanie nr 6396043

Niech a = log122 . Wykaż, że 6a-- log 664 = 1−a .

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu, oraz jego szczególnego przypadku

log y = logy-y-= --1---. x logy x logy x

Sposób I

Zauważmy, że dany warunek możemy zapisać w postaci

---1--- −1 a = log 12 2 = log 12 /() 2 1-= log 1 2 = log 4 + log 3 = 2 + log 3 a 2 2 2 2 1- 1-−-2a- log 23 = a − 2 = a .

Przekształcamy teraz lewą stronę równości, którą mamy udowodnić - zamieniamy podstawę logarytmu na 2.

log2-64 -------6------- ----6---- --6a-- log664 = lo g 6 = log 2 + log 3 = 1−-2a= 1 − a . 2 2 2 1 + a

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

-6a--- --6log12-2- ----log-12-26----- 1− a = 1 − log 2 = lo g 12 − log 2 = 12 12 12 = log-1264 = lo-g1264-= log 6 4. log 12 log 12 6 6 12 2

Sposób III

Przekształcamy lewą stronę wzoru, który mamy udowodnić – zmieniamy podstawę na 12.

lo g1264 log1226 6log122 6a log 664 = --------= ------12-= ----------------- = -----. log12 6 log12 2 log121 2− log 122 1− a