Zadanie nr 6396043

Niech a = log122 . Wykaż, że 6a-- log 664 = 1−a .

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu, oraz jego szczególnego przypadku

logy-y- --1--- logx y = log x = log x. y y

Sposób I

Zauważmy, że dany warunek możemy zapisać w postaci

---1--- −1 a = log 12 2 = log 12 /() 2 1-= log 1 2 = log 4 + log 3 = 2 + log 3 a 2 2 2 2 1 1 − 2a log 23 = -− 2 = -------. a a

Przekształcamy teraz lewą stronę równości, którą mamy udowodnić – zamieniamy podstawę logarytmu na 2.

log 64 = log2-64 = -------6-------= ----6----= --6a--. 6 lo g26 log 22 + log23 1 + 1−a2a 1 − a

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

6a 6log 2 log 26 ------= ------12--- = --------12--------= 1− a 1 − log 12 2 lo g1212 − log122 log-1264 lo-g1264- = 12 = log 6 = log66 4. log 12 2 12

Sposób III

Przekształcamy lewą stronę wzoru, który mamy udowodnić – zmieniamy podstawę na 12.

6 log 64 = lo-g1264-= log122--= -----6log122----- = -6a--. 6 log12 6 log12 122- log121 2− log 122 1− a