/Szkoła średnia/Liczby/Logarytmy/Tożsamości

Zadanie nr 6448131

Udowodnij, że

 1 log2022!2023 = ---1---------1---------1----------------1----. log22023 + log32023 + log42023 + ...+ log20222023
Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu

 log b loga b = ---c--. logc a

W szczególności

lo g b = lo-gb b-= --1---. a lo gb a logb a

Korzystając z tego wzoru przekształcamy prawą stronę równości, którą mamy udowodnić

----------------------1----------------------- ---1---+ ---1--- + ---1--- + ...+ ----1---- = log22023 log32023 log4 2023 log20222023 ------------------------1-------------------------- = lo g 2+ log 3 + log 4 + ...+ log 2 022 = 2023 2023 2023 2023 = -----------1------------= ------1------= lo g 2 023. lo g2023(2⋅3 ⋅4 ⋅⋅⋅2022) log2023202 2! 2022!
Wersja PDF
spinner