Zadanie nr 6481374

Wykaż, że jeżeli a 12 = 1 8 , to 2−a- log9 4 = 2a−1 .

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ w tezie mamy logarytm przy podstawie 9, logarytmujemy daną równość właśnie takim logarytmem.

a 12 = 18 / log 9() log9 12a = log9 18 alog (3 ⋅4) = log (2⋅9) 9 9 a(log93 + log 94) = log9 2+ 1 ( 1 ) 1 a --+ log 94 = --log94 + 1 . 2 2

Pozostało teraz obliczyć z tej równości interesujący nas log 94 .

( 1) 1 a− -- log9 4 = 1 − --a / ⋅2 2 2 2 − a (2a − 1 )log9 4 = 2− a ⇒ log 94 = -------. 2a − 1

Sposób II

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu

log y = logz-y. x logz x

Zauważmy, że dany warunek możemy zapisać w postaci

lo-g918- log9-2+--lo-g99- -lo-g92-+-1-- a = lo g1218 = lo g 12 = log 3+ lo g 4 = 1 + 2 lo g 2 ( ) 9 9 9 2 9 1- a 2 + 2 log 92 = log9 2+ 1 / ⋅2 (4a − 2 )log 2 = 2− a ⇒ log 2 = -2-−-a-. 9 9 4a − 2

Mamy zatem

2 − a 2 − a log 94 = 2 lo g92 = 2⋅ -------= -------. 4a− 2 2a − 1

Sposób III

Tak jak poprzednio zauważamy, że daną równość możemy zapisać w postaci

lo g 18 = a. 12

Przekształcamy teraz prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

2 − a 2 − log12 18 log 12 144 − log1218 -------= --------------= --------------------= 2a− 1 2log121 8− 1 log 12 324 − log1212 log12-8- 3log-12-2- 2log122-- log12-4 = lo g 27 = 3log 3 = 2log 3 = log 9 = log9 4. 12 12 12 12