/Szkoła średnia/Liczby/Logarytmy/Tożsamości

Zadanie nr 6495864

Niech log3 8 = p . Wykaż, że 3p+-3 log6 24 = p+3 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:

log b loga b = ---c--. logc a

Sposób I

Zauważmy, że dany warunek możemy zapisać w postaci

p = log3 8 = log3 23 = 3log 32 1 log3 2 = --p. 3

Przekształcamy lewą stronę wzoru, który mamy udowodnić – zmieniamy podstawę na 3.

log 24 = lo-g324-= log3(8-⋅3) = lo-g38-+-log3-3-= 6 log3 6 log3(2 ⋅3) lo g32 + log3 3 p + 1 3p + 3 = 1------= ------. 3p + 1 p + 3

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

3p-+-3- 3log3-8+--3- 3-(lo-g38-+-log3-3) p + 3 = log 23 + 3 = 3 (lo g 2 + log 3) = 3 3 3 = lo-g324-= log 2 4. log3 6 6
Wersja PDF