/Szkoła średnia/Liczby/Logarytmy/Tożsamości

Zadanie nr 7297772

Dodatnie liczby rzeczywiste a i b takie, że a > b , spełniają warunek

( a − b) 1 log 2 ------ = --(lo g2a + log2 b). 3 2

Wykaż, że dla liczb a i b prawdziwa jest równość 2 2 a + b = 1 1ab .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy podany warunek

( a − b ) 1 lo g2 ------ = -(log2 a+ log 2b) / ⋅2 ( 3 ) 2 a − b 2 log2 --3--- = log 2ab ( ) a-−-b- 2 lo g2 3 = log 2ab.

Ponieważ logarytm y = lo g2x jest funkcją różnowartościową, mamy stąd

( ) 2 a-−-b- = ab / ⋅9 3 2 2 a − 2ab + b = 9ab a2 + b2 = 11ab.
Wersja PDF