Zadanie nr 7422436

Korzystając ze wzoru

n+ 1 n 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ⋅⋅⋅+ nxn −1 = nx----−-(n-+--1)x-+--1, (1− x)2

który jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej i dowolnej liczby x ⁄= 1 , wykaż, że

( 3 27 n 3⋅9n) 2n+3 2n+ 2 log 3-⋅-27--⋅⋅⋅-⋅⋅(3⋅-9-)---- = (2n+--1)3-----+-(2n-+-2)3-----+--3. 3 99 ⋅8181 ⋅⋅ ⋅⋅⋅(9n)9n 16

Rozwiązanie

Przekształćmy podane wyrażenie

( 3 27 n 3⋅9n) ( 3 3⋅33 (2n+1)⋅3⋅9n ) log 3-⋅-27--⋅⋅⋅⋅-⋅(3⋅9--)---- = log 3-⋅3----⋅⋅⋅-⋅⋅3---------- = 3 99 ⋅ 8181 ⋅⋅⋅⋅ ⋅(9n)9n 3 32⋅9 ⋅34⋅92 ⋅ ⋅⋅⋅⋅32n⋅9n 3 n = log3 33 + log 333⋅3 + ⋅⋅⋅+ lo g33(2n+1)⋅3⋅9 − 2⋅9 4⋅92 2n⋅9n − lo g33 − log 33 − ⋅⋅⋅− lo g33 = = 3 + 3 ⋅33 + ⋅⋅⋅+ (2n + 1)⋅32n+ 1 − 2 ⋅32 − 4 ⋅34 − ⋅⋅⋅− 2n ⋅ 32n = = 3 − 2 ⋅32 + 3⋅33 − 4 ⋅34 + ⋅⋅⋅− 2n⋅ 32n + (2n+ 1)⋅ 32n+1 = ( ) = 3 1 − 2⋅ 3+ 3⋅32 − 4 ⋅33 + ⋅⋅⋅− 2n⋅ 32n−1 + (2n + 1) ⋅32n = ( ) = 3 1 + 2⋅ (− 3)+ 3 ⋅(− 3)2 + 4 ⋅(− 3)3 + ⋅ ⋅⋅+ 2n ⋅(− 3)2n− 1 + (2n + 1)⋅(− 3)

No i w końcu możemy zastosować podany wzór.

( n) 33 ⋅2727-⋅⋅⋅⋅⋅(3-⋅9n)3⋅9- log3 99 ⋅81 81 ⋅⋅⋅⋅⋅(9n )9n = (2n + 1)(− 3)2n+2 − (2n + 2)(− 3)2n+ 1 + 1 = 3⋅ ------------------------2----------------- = (1+ 3) (2n-+-1)32n+2-+-(2n-+-2-)32n+1 +-1- = 3⋅ 16 = 2n+ 3 2n+2 = (2n-+-1)3-----+-(2n-+--2)3-----+-3. 16