Zadanie nr 8177187

Niech √ -√5-- a = log 6 4 . Wykaż, że √ -√3-- -10a-- log 3 2 = 12− 15a .

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu, oraz jego szczególnego przypadku

log y = logy-y-= --1---. x logy x logy x

Sposób I

Zauważmy, że dany warunek możemy zapisać w postaci

√ -- a = log√ - 54 = 2-log √- 2 = 2-⋅----1√---= 2⋅ ---1----= 4-⋅--1--- / ()−1 6 5 6 5 log 6 5 1 log 26 5 log2 6 2 2 1-= 5-⋅lo g 6 = 5-lo g 2 + 5-log 3 = 5-+ 5log 3 / ⋅ 4- a 4 2 4 2 4 2 4 4 2 5 -4- 4-−-5a- log2 3 = 5a − 1 = 5a .

Przekształcamy teraz lewą stronę równości, którą mamy udowodnić – zamieniamy podstawę logarytmu na 2.

-- √3-- 1 1 lo g√- 3√ 2 = log-2√-2-= ---3----= --3--= --1-0a---. 3 log 3 1 log 3 4−5a 12 − 15a 2 2 2 10a

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

( ) √ -√5-- √ - 5√ --10 --10a---- --10-log--6--4---- --------log--6----4----------- 12− 15a = 12− 15log √-√5 4 = √ -- (√5-) 15 = 6 log√ 6( 6)12 − lo g√6 4 1 √3-- lo-g√6-16- lo-g√6-24- 1-2log√-623- log√-6--2- √- 3√ -- = √- 66 = lo g√- 36 = √ - 1 = √ -√ --= lo g 3 2. lo g 6 43 6 1 2log 632 log 6 3

Sposób III

Zauważmy najpierw, że

-- a = log √-√5 4 = log√ -225 = 2log √-2 ⇒ log√ -2 = 5a. 6 6 5 6 6 2

Przekształcamy teraz lewą stronę wzoru, który mamy udowodnić – zmieniamy podstawę na √ -- 6 .

√ -- 1 √3-- log √6 3 2 lo g√6 23 13 log√ 62 log√ 3 2 = ---√--√---= -------√- = ---√--√--------√--√---= log 6 3 log √6 √62- log 6 6 − log 6 2 1 --3 log√-62-- --13-⋅ 52a-- --1-0a--- = 1− 1log√ -2 = 1 − 1 ⋅ 5a = 12 − 15a 2 6 2 2