/Szkoła średnia/Liczby/Logarytmy/Tożsamości

Zadanie nr 9945062

Udowodnij, że jeżeli -1--- x = 10 1−logz i --1-- y = 101−logx , to --1-- z = 10 1−logy .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że

( --1-- { x = 101−logz / log() ( 1−1logx y = 10 /log () { ---1-- log x = 1− logz log y = ---1-- 1− logx

W równości, którą mamy udowodnić nie ma log x , więc spróbujmy w powyższym układzie pozbyć się log x – podstawiamy z pierwszego równania do drugiego.

log y = ---1-----= ----1------= ---1-----= logz-−-1-= 1− --1-- 1− log x 1 − 1−l1ogz 1−logz−1- logz log z 1−logz --1-- −1 log z = 1 − log y / () log z = ---1----. 1− log y

Otrzymane wyrażenie jest równoważne równości, którą mamy udowodnić, bo

--1-- logz 10 1−logy = 10 = z.
Wersja PDF