/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Długość

Zadanie nr 1734379

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a . Wykaż, że łuk okręgu wpisanego w ten trójkąt zawarty między dwoma kolejnymi punktami styczności tego okręgu z bokami trójkąta ma długość większą niż 60 %a .

ZINFO-FIGURE

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy cały okrąg wpisany w trójkąt ABC .

ZINFO-FIGURE

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a jest równy

√ -- √ -- 1- 1- a--3- a--3- r = 3h = 3 ⋅ 2 = 6 ,

a interesujący nas łuk, to 1 3 tego okręgu. Zatem długość tego łuku jest równa

1 1 a√ 3- πa√ 3- --⋅2πr = --⋅2π ⋅ -----= ------. 3 3 6 9

Pozostało wykazać, że liczba ta jest większa od

60%a = 3a. 5

Przekształcamy nierówność, którą mamy udowodnić w sposób równoważny.

√ -- πa 3 3 9 ------ > --a / ⋅-√---- 9 5 a√ -3 -27-- 9--3- π > √ --= 5 . 5 3

Łatwo teraz sprawdzić na kalkulatorze, że - 9√-3 5 < 3,12 , a jednocześnie π > 3,14 . To oznacza, że otrzymana nierówność jest spełniona. Ponieważ przekształcaliśmy nierówność przy pomocy równoważności, wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.

Wersja PDF