Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1734379

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a . Wykaż, że łuk okręgu wpisanego w ten trójkąt zawarty między dwoma kolejnymi punktami styczności tego okręgu z bokami trójkąta ma długość większą niż 60 %a .


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Dorysujmy cały okrąg wpisany w trójkąt ABC .


PIC


Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a jest równy

 √ -- √ -- r = 1h = 1-⋅ a-3-= a--3-, 3 3 2 6

a interesujący nas łuk, to 13 tego okręgu. Zatem długość tego łuku jest równa

 √ -- √ -- 1- 1- a--3- πa--3- 3 ⋅2πr = 3 ⋅2π ⋅ 6 = 9 .

Pozostało wykazać, że liczba ta jest większa od

 3- 60%a = 5a.

Przekształcamy nierówność, którą mamy udowodnić w sposób równoważny.

 √ -- πa---3 3- --9-- 9 > 5 a / ⋅a√ 3- √ -- -27--- 9--3- π > 5√ 3 = 5 .

Łatwo teraz sprawdzić na kalkulatorze, że  √- 9-3-< 3 ,1 2 5 , a jednocześnie π > 3,14 . To oznacza, że otrzymana nierówność jest spełniona. Ponieważ przekształcaliśmy nierówność przy pomocy równoważności, wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!